Combinatoriekrekenmachine

Selecties en rangschikkingen tellen

Combinatoriek is de wiskunde van het tellen op hoeveel manieren iets kan gebeuren, en twee ideeën doen het meeste werk: combinaties en permutaties. Een combinatie, geschreven als nCr, telt op hoeveel manieren je r items uit een verzameling van n kunt kiezen wanneer de volgorde van de gekozen items er niet toe doet. Een permutatie, geschreven als nPr, telt op hoeveel manieren je r items uit n kunt kiezen én ordenen wanneer de volgorde er wel toe doet. Deze rekenmachine toont beide tegelijk, samen met de faculteit van n, en laat de gebruikte formule zien zodat het resultaat gemakkelijk te controleren is.

De formules zijn nauw verbonden. De faculteit n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 telt de rangschikkingen van alle n items. Daaruit volgt het aantal permutaties als nPr = n! / (n − r)!, waarmee de rangschikkingen van de niet gekozen items wegvallen. Combinaties delen vervolgens de volgordes van de gekozen items weg, wat nCr = n! / (r! × (n − r)!) oplevert. Omdat de volgorde wordt genegeerd, is nCr altijd kleiner dan of gelijk aan nPr, en zijn ze alleen gelijk wanneer r gelijk is aan 0 of 1.

Waar deze aantallen voorkomen

Deze aantallen komen overal voor. Loterijkansen, kansen op kaartcombinaties en het samenstellen van commissies gebruiken combinaties omdat de volgorde van de uitkomst niet telt. Wachtwoorden, finishvolgordes bij een race en zitplaatsindelingen gebruiken permutaties omdat het herschikken van dezelfde items een andere uitkomst geeft. Faculteiten vormen de basis van beide en komen ook voor in kansverdelingen en reeksontwikkelingen. Herkennen of de volgorde ertoe doet is de kernvraag: verandert het verwisselen van twee items de uitkomst, gebruik dan permutaties; zo niet, gebruik dan combinaties.

Grenzen en privacy

Faculteiten groeien extreem snel, dus grote waarden van n overschrijden al snel het bereik waarin gewone getallen exact blijven en kunnen in wetenschappelijke notatie worden getoond of als te groot worden gemarkeerd. Gebruik voor exacte aantallen bij grote invoer software met willekeurige precisie. Binnen het alledaagse bereik van lessen en kansopgaven zijn de resultaten hier exact. Alle berekeningen draaien met mathjs in je browser; de waarden die je invoert worden nooit geüpload, opgeslagen of gedeeld.