Kombinatorik-Rechner
Berechnen Sie Kombinationen nCr, Permutationen nPr und Fakultäten mit angezeigten Formeln – mit mathjs.
🔒 Läuft vollständig in Ihrem Browser — nichts wird hochgeladenAuswahlen und Anordnungen zählen
Die Kombinatorik ist die Mathematik des Zählens, auf wie viele Arten etwas geschehen kann, und zwei Ideen leisten den Großteil der Arbeit: Kombinationen und Permutationen. Eine Kombination, geschrieben nCr, zählt, auf wie viele Arten Sie r Elemente aus einer Menge von n auswählen können, wenn die Reihenfolge der gewählten Elemente keine Rolle spielt. Eine Permutation, geschrieben nPr, zählt, auf wie viele Arten Sie r Elemente aus n auswählen und anordnen können, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt. Dieser Rechner zeigt beides gleichzeitig an, zusammen mit der Fakultät von n, und gibt die verwendete Formel an, damit sich das Ergebnis leicht nachprüfen lässt.
Die Formeln hängen eng zusammen. Die Fakultät n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 zählt die Anordnungen aller n Elemente. Daraus ergibt sich die Anzahl der Permutationen als nPr = n! / (n − r)!, wodurch die Anordnungen der nicht gewählten Elemente entfallen. Kombinationen teilen anschließend die Reihenfolgen der gewählten Elemente heraus und ergeben nCr = n! / (r! × (n − r)!). Da die Reihenfolge ignoriert wird, ist nCr stets kleiner oder gleich nPr; beide sind nur gleich, wenn r gleich 0 oder 1 ist.
Wo diese Zählungen vorkommen
Diese Zählungen begegnen uns überall. Lottogewinnchancen, Wahrscheinlichkeiten für Kartenhände und die Auswahl von Ausschussmitgliedern nutzen Kombinationen, weil die Reihenfolge des Ergebnisses unerheblich ist. Passwörter, Zielreihenfolgen bei Rennen und Sitzordnungen nutzen Permutationen, weil das Umordnen derselben Elemente ein anderes Ergebnis liefert. Fakultäten bilden die Grundlage beider und tauchen auch in Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Reihenentwicklungen auf. Die Schlüsselfrage ist, ob die Reihenfolge zählt: Ändert das Vertauschen zweier Elemente das Ergebnis, verwenden Sie Permutationen; ändert es nichts, verwenden Sie Kombinationen.
Grenzen und Datenschutz
Fakultäten wachsen extrem schnell, sodass große Werte von n rasch den Bereich überschreiten, in dem gewöhnliche Zahlen exakt bleiben, und in wissenschaftlicher Notation dargestellt oder als zu groß markiert werden können. Für exakte Zählungen bei großen Eingaben verwenden Sie Software mit beliebiger Genauigkeit. Im alltäglichen Bereich von Unterricht und Wahrscheinlichkeitsaufgaben sind die Ergebnisse hier exakt. Die gesamte Arithmetik läuft mit mathjs in Ihrem Browser; die eingegebenen Werte werden nie hochgeladen, gespeichert oder weitergegeben.
So verwenden Sie
- n und r eingebenLegen Sie n als Gesamtzahl der Elemente und r als Anzahl der gewählten oder angeordneten Elemente fest.
- Ergebnisse ablesenSehen Sie Kombinationen nCr, Permutationen nPr und die Fakultät n! gemeinsam.
- Formeln prüfenDie ausgerechnete Formel zeigt genau, wie jede Zahl zustande kommt.