Quadratische Gleichungen lösen

So funktioniert die Lösungsformel

Eine quadratische Gleichung hat die Normalform a·x² + b·x + c = 0, wobei a ungleich null ist. Die beiden Lösungen ergeben sich aus der Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, heißt Diskriminante und bestimmt, wie viele reelle Lösungen es gibt. Dieser Löser wertet die Formel direkt aus und formatiert das Ergebnis so, dass Sie beide Lösungen auf einen Blick ablesen können – samt Diskriminante und Scheitelpunkt der Parabel.

Ist die Diskriminante positiv, schneidet die Parabel die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten, was zwei reelle Lösungen ergibt. Ist sie genau null, berührt die Parabel die Achse nur, und die beiden Lösungen fallen zu einer doppelten Lösung zusammen. Ist die Diskriminante negativ, ist die Wurzel aus einer negativen Zahl imaginär, sodass die Lösungen ein konjugiert komplexes Paar der Form p ± q·i bilden. Der Löser erkennt jeden dieser Fälle automatisch.

Scheitelpunkt und Form

Jede quadratische Funktion hat als Graph eine Parabel, deren Wendepunkt der Scheitelpunkt ist. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist −b ÷ (2a); setzt man sie in die Gleichung ein, erhält man die y-Koordinate. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist das Minimum; ist a negativ, öffnet sie sich nach unten und der Scheitelpunkt ist das Maximum. Wer den Scheitelpunkt kennt, kann die Kurve schnell skizzieren und erkennen, wo die Funktion ihren Extremwert erreicht – nützlich bei Optimierungsaufgaben und in der Physik, etwa beim schrägen Wurf.

Genauigkeit und Datenschutz

Die Berechnungen verwenden die übliche Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit, die für typische Koeffizienten in Hausaufgaben, Ingenieurschätzungen und Finanzfragen ausreicht. Extrem große oder kleine Koeffizienten können kleine Rundungsunterschiede verursachen, runden Sie die angezeigten Lösungen daher sinnvoll für Ihren Zweck. Die gesamte Berechnung erfolgt lokal in Ihrem Browser. Es werden keine Koeffizienten hochgeladen, nichts gespeichert und kein externer Dienst kontaktiert, sodass Sie beliebig viele Gleichungen privat und sofort lösen können.