Ableitungsrechner

Was eine Ableitung aussagt

Die Ableitung einer Funktion misst, wie schnell sich ihr Ausgabewert ändert, wenn sich der Eingabewert ändert. Geometrisch ist der Wert von f′(x) an einer Stelle die Steigung der Tangente an den Graphen an dieser Stelle; physikalisch ist sie eine Änderungsrate, etwa die Geschwindigkeit als Ableitung des Ortes. Dieser Rechner bestimmt die Ableitung symbolisch, das heißt, er liefert eine Formel statt einer numerischen Näherung. Geben Sie eine Funktion wie x^3 * sin(x) ein, wählen Sie Variable und Ordnung, und das Werkzeug wendet Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel an und vereinfacht anschließend das Ergebnis, damit Sie es leicht lesen können.

Höhere Ableitungen erhält man durch wiederholtes Ableiten. Die zweite Ableitung f″ beschreibt die Krümmung: Wo sie positiv ist, ist der Graph nach oben gekrümmt, wo sie negativ ist, nach unten. Die dritte Ableitung f‴ misst, wie sich diese Krümmung selbst ändert. Wählen Sie die Ordnung 1, 2 oder 3, und das Werkzeug listet jede Zwischenableitung auf, sodass Sie jeden Schritt einer Hausaufgabe oder Herleitung überprüfen können.

Auswerten und Zeichnen

Geben Sie einen Wert in das Auswertungsfeld ein, um die Ableitung an einer bestimmten Stelle zu berechnen. Konstanten wie pi und e werden akzeptiert, sodass auch eine Eingabe wie pi/2 funktioniert. Bei Ordnung 1 ist das Ergebnis die Steigung der ursprünglichen Kurve – nützlich, um Tangenten zu bestimmen, kritische Stellen zu prüfen, an denen die Ableitung null ist, oder festzustellen, wo eine Funktion wächst. Existiert die Ableitung an Ihrer Stelle nicht, etwa bei der Quadratwurzel an der Stelle null, weist das Werkzeug darauf hin, statt eine irreführende Zahl auszugeben.

Die Zeichenfläche stellt die ursprüngliche Funktion und die gewählte Ableitung über dem von Ihnen gewählten Bereich dar. Beide Kurven gemeinsam zu sehen schärft die Intuition: Hoch- und Tiefpunkte von f fallen mit den Nullstellen von f′ zusammen, und steile Abschnitte von f entsprechen großen Werten von f′. Die vertikale Skalierung passt sich automatisch an, und Sprünge in der Nähe von Asymptoten werden nicht durch eine falsche Linie verbunden.

Tipps zum Schreiben von Ausdrücken

Verwenden Sie ^ für Potenzen, * für die Multiplikation (eine Zahl direkt vor einem Buchstaben, wie in 3x, wird ebenfalls verstanden) und Klammern, um Terme zu gruppieren. Funktionen werden kleingeschrieben, zum Beispiel sin(x), exp(x), log(x) für den natürlichen Logarithmus und sqrt(x). Andere Symbole als die gewählte Variable werden als Konstanten behandelt, was partielle Ableitungen einfach macht: Leiten Sie nach y ab, während x fest bleibt. Kann der Ausdruck nicht gelesen werden, erhalten Sie eine verständliche Meldung, die das Problem beschreibt. Alles läuft in Ihrem Browser, sodass Ihre Arbeit privat bleibt.