Калькулятор производных

Что показывает производная

Производная функции показывает, насколько быстро меняется её значение при изменении аргумента. Геометрически значение f′(x) в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке; с физической точки зрения это скорость изменения, например скорость как производная координаты. Этот калькулятор находит производную символьно, то есть возвращает формулу, а не численное приближение. Введите функцию, например x^3 * sin(x), выберите переменную и порядок, и инструмент применит правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, а затем упростит результат, чтобы его было удобно читать.

Производные высших порядков получаются повторным дифференцированием. Вторая производная f″ описывает выпуклость: там, где она положительна, график изгибается вверх, а там, где отрицательна, — вниз. Третья производная f‴ показывает, как меняется сама выпуклость. Выберите порядок 1, 2 или 3, и инструмент выведет все промежуточные производные, чтобы вы могли проверить каждый шаг домашнего задания или вывода.

Вычисление в точке и построение графика

Введите значение в поле вычисления, чтобы найти производную в конкретной точке. Поддерживаются константы pi и e, поэтому ввод вроде pi/2 тоже работает. При первом порядке результат равен угловому коэффициенту исходной кривой, что полезно для построения касательных, проверки критических точек, где производная равна нулю, или определения участков возрастания функции. Если производная в вашей точке не существует, например у квадратного корня в нуле, инструмент сообщит об этом, а не выдаст вводящее в заблуждение число.

На холсте отображаются исходная функция и выбранная производная на заданном вами интервале. Когда обе кривые видны вместе, легче развить интуицию: максимумы и минимумы f совпадают с нулями f′, а крутые участки f соответствуют большим значениям f′. Вертикальный масштаб подбирается автоматически, а резкие скачки вблизи асимптот не соединяются ложной линией.

Советы по записи выражений

Используйте ^ для степеней, * для умножения (число прямо перед буквой, как в 3x, тоже распознаётся) и скобки для группировки. Функции записываются строчными буквами, например sin(x), exp(x), log(x) для натурального логарифма и sqrt(x). Все символы, кроме выбранной переменной, считаются константами, поэтому легко находить частные производные: дифференцируйте по y, пока x остаётся неизменным. Если выражение не удаётся разобрать, вы увидите понятное сообщение о том, что пошло не так. Всё работает в вашем браузере, поэтому ваши вычисления остаются конфиденциальными.