Calculadora de fatoração em primos

Decompor um número em primos

Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos de uma única maneira, a menos da ordem dos fatores. Esse é o teorema fundamental da aritmética, e a fatoração em primos de um número é esse produto único. Por exemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Esta calculadora encontra a fatoração de qualquer número inteiro até 9,007,199,254,740,991, que é 2^53 − 1 e o maior inteiro que um navegador consegue representar com exatidão. Os resultados aparecem na forma exponencial, na forma totalmente expandida e como uma árvore de fatores.

Divisores, sua quantidade e sua soma

Depois de conhecer a fatoração em primos, muitas outras propriedades decorrem diretamente. Se um número é igual a p₁^a₁ × p₂^a₂ × …, a quantidade de divisores positivos é (a₁ + 1)(a₂ + 1)…, porque cada divisor escolhe, para cada primo, um expoente de 0 até a potência completa. A soma dos divisores é o produto de (1 + p + p² + … + p^a) sobre os primos. Para 360, isso dá 4 × 3 × 2 = 24 divisores, com soma 1170. A ferramenta lista todos os divisores em ordem crescente, o que ajuda em tarefas como encontrar fatores comuns, simplificar frações e verificar se um número é perfeito, ou seja, se a soma dos seus divisores, excluindo ele próprio, é igual ao número.

Como funciona a fatoração

Os fatores primos pequenos são removidos por divisão por tentativas, usando uma roda que pula os múltiplos de 2 e 3. O que sobra tem apenas fatores primos grandes, então a calculadora o verifica com um teste determinístico de Miller-Rabin e, se for composto, o divide com o algoritmo rho de Pollard (Pollard's rho) usando aritmética exata com BigInt, fatorando depois cada parte recursivamente. Assim, até produtos de dois primos na casa das dezenas de milhões retornam rapidamente, enquanto a divisão por tentativas pura seria lenta. A árvore de fatores mostra uma maneira de chegar aos primos, retirando o menor primo a cada passo.

O modo em lote permite colar uma lista inteira de números e receber uma tabela com a fatoração e a quantidade de divisores de cada um, enquanto as entradas inválidas são sinalizadas individualmente, sem interromper o processamento. Tudo é calculado no seu navegador, então os números que você digita nunca são enviados.